Металлопрокат и металлоконструкции

cart
Корзина пуста

Металлопрокат и металлоконструкции

На практике часто возникает необходимость расчета стойки или колони на максимальную осевую (продольную) нагрузку. Усилие, при котором стойка теряет устойчивое состояние (несущую способность) является критическим.

На устойчивость стойки оказывает влияние способ закрепления концов стойки.  В строительной механике рассматривают семь способов закрепления концов стойки. Ми рассмотрим три основных способа:

 Для обеспечения определенного запаса устойчивости необходимо чтобы соблюдалось условие:

                                      Р ≤ [ Р ]

где: Р – действующее усилие ;

        [ Р ] – допустимая нагрузка.

Устанавливается определенный коэффициент запаса устойчивости

Таким образом, при расчете упругих систем необходимо уметь определять величину критической силы Ркр. Если иметь введу что усилие Р приложено к стойке вызывает только малые отклонения от прямолинейной формы стойки длиной ι то его можно определить из уравнения

 где: E – модуль упругости;
      J_min– минимальный момент инерции сечения;
      M(z) – изгибающий момент, равный M(z) =  -P ω;
      ω – величина отклонения от прямолинейной формы стойки;
Решая это дифференциальное уравнение

А и В постоянные интегрирования, определяются по граничным условиям.
Произведя определенные действия и подстановки получим конечное выражение для критической силы Р

Наименьшее значение критической силы будет при n = 1 (целое число) и

Уравнение упругой линии стойки будет иметь вид:

где: z -  текущая ордината, при максимальном значении z=l;
Допустимое выражение для критической силы называется формулой Л.Эйлера.  Видно, что величина критической силы зависит от жесткости стойки EJmin прямо пропорционально и от длины стойки  l – обратно пропорционально.
Как было сказано, устойчивость упругой стойки зависит от способа ее закрепления.
Рекомендуемая величина запаса прочности для стальных стоек ровна
ny=1,5÷3,0; для деревянных  ny=2,5÷3,5 ; для чугунных  ny=4,5÷5,5
Для учета способа закрепления концов стойки вводиться коэффициент концов приведенной гибкости стойки.


 

где: μ – коэффициент приведенной длины (Таблица) ;
     imin-  наименьший радиус инерции поперечного сечения стойки   (таблица);   
    ι – длина стойки;
Вводиться коэффициент критической нагрузки:

, (таблица);
Таким образом, при расчете поперечного сечения стойки необходимо учитывать коэффициенты μ и ϑ величина которых зависит от способа закрепления концов стойки и приведена в таблицах справочника по сопромату (Г.С. Писаренко и С.П.Фесик )
Приведем пример расчета критической силы для стержня сплошного сечения прямоугольной формы – 6×1 см., длина стержня ι = 2м. Закрепления концов по схеме III.
    Расчет:
По таблице находим коэффициент ϑ=9,97, μ = 1. Момент инерции сечения будет:

а критическое напряжение будет:

Очевидно, что критическая сила Ркр=247 кгс вызовет в стержне напряжение всего 41кгс/см2 , что значительно меньше предела  проточности (1600кгс/см2), однако эта сила вызовет искривление стержня, а значит потерю устойчивости.
Рассмотрим другой пример расчета деревянной стойки круглого сечения защемленной в нижнем конце и шарнирно закрепленной на верхнем (С.П. Фесик) . Длина стойки 4м, сила сжатия N=6тс. Допускаемое напряжение [σ]=100кгс/см2. Принимаем коэффициент понижения допускаемого напряжения на сжатие φ=0.5. Вычисляем площадь сечения стойки:            

       
Определяем диаметр стойки:

Момент инерции сечения

Вычисляем гибкость стойки:
  где: μ=0.7, исходя из способа защемления концов стойки;
Определяем напряжение в стойке:



Очевидно, что напряжение в стойке составляет  100кгс/см2 и оно ровно допустимому напряжению [σ]=100кгс/см2
Рассмотрим третий пример расчета  стальной стойки из двутаврового профиля, длиной  1.5м,  сила сжатия 50тс, допускаемое напряжение               [σ]=1600кгс/см2. Нижний конец стойки защемлен, а верхний свободный         (I способ).
Для подбора сечения используем формулу  и задаемся коэффициентом ϕ=0.5, тогда:
 

 

 Подбираем из сортамента двутавр №36 и его данные: F=61.9см2, imin=2.89см.  
Определяем гибкость стойки:

где: μ из таблицы , ровное 2, учитывая способ защемления стойки;
Расчетное напряжение в стойке будет:

5кгс ,что примерно ровно допустимому напряжению, и на 0.97% больше, что допустимо в инженерных расчетах.
Поперечное сечение стержней работающих на сжатие будет рациональным при наибольшем радиусе инерции. При расчете удельного радиуса инерции
  наиболее оптимальным является трубчатые сечения, тонкостенные; для которых величина ξ=1÷2.25, а для сплошных или прокатных профилей  ξ=0.204÷0.5

Выводы
При расчете на прочность и устойчивость стоек, колон необходимо учитывать способ закрепления концов стоек, применять рекомендуемый запас прочности.
Значение критической силы получено из дифференциального уравнения изогнутой осевой линии стойки (Л.Эйлера).
Для учета всех факторов, характеризующих нагруженную стойку введено понятие гибкости стойки – λ, коэффициент провиденной длины – μ, коэффициент понижения напряжения – ϕ, коэффициент критической нагрузки - ϑ. Их значения берут из таблиц справочников (Г.С.Писарентко и С.П.Фесик).
Приведены примерные расчеты стоек, на определение критической силы - Ркр, критического напряжения - σкр, диаметра стоек – d, гибкости стоек – λ и другие характеристики.
Оптимальным сечением для стоек и колон является трубчатые тонкостенные профиля с одинаковыми главными моментами инерции.

Используемая литература:
    Г.С Писаренко «Справочник по сопротивлению материалов».
    С.П.Фесик «Справочник по сопротивлению материалов».
    В.И. Анурьев «Справочник конструктора-машиностроителя».
    СНиП     II-6-74 «Нагрузки и воздействия, нормы проектирования».
        
                        
                     Автор
                Ткаченко Н.А

 

Узнать цены